Clase N 5
Realizamos el taller del modulo hasta la pregunta 25Problema n° 1) Un cuerpo de 4 kg. de masa está sujeto aun resorte helicoidal, y oscila verticalmente con movimiento armónico simple. La amplitud es de 0,5 m, y en el punto más alto del movimiento el resorte tiene su longitud natural. Calcúlese la energía potencial elástica del resorte, la energía cinética del cuerpo, su energía gravitacional respecto al punto más bajo del movimiento y la suma de estas tres energías, cuando el cuerpo está:
a) En su punto más bajo.
b) En su posición de equilibrio, y
Cuando está en su punto de equilibrio la energía Ep = 0, porque X = 0.
c) En su punto más alto.
Problema n° 1) Un cuerpo de 4 kg. de masa está sujeto aun resorte helicoidal, y oscila verticalmente con movimiento armónico simple. La amplitud es de 0,5 m, y en el punto más alto del movimiento el resorte tiene su longitud natural. Calcúlese la energía potencial elástica del resorte, la energía cinética del cuerpo, su energía gravitacional respecto al punto más bajo del movimiento y la suma de estas tres energías, cuando el cuerpo está:
a) En su punto más bajo.
b) En su posición de equilibrio, y
Cuando está en su punto de equilibrio la energía Ep = 0, porque X = 0.
c) En su punto más alto.
Desarrollo
m = 4 kg
A = 0,5m
k = F/x
k = m.g/x
4.9,8/0,5 = 78,4 N/m
a)
Ep = k.x ²/2
Ec = m.v ²/2 = 0
Ep = 78,4.5 ²/2
9,8 J
Ec = 0 porque su velocidad es cero.
E pg = m.g.h/2 = 0 porque la h (altura es 0).
ET = Ep + Ec + E pg = 9,8N.m
b)
entonces:
Ec = 4.2,21 ²/2
9,76 J
E pg = m.g.h/2 = 4.9,8.0,5/2 = 9,8 J
ET = Ep + Ec + E pg = 19,56 J
c)
Ep = k.x ²/2
Ec = m.v ²/2 = 0
Como es en este caso para el punto mas alto se considera la energía como negativa, definida así por su amplitud (-A).
Ep = 78,4.0,5 ²/2 = -9,8 J
E pg = m.g.h/2 = 4.9,8.1/2 = 19,6 J
ET = Ep + Ec + E pg = 9,8 N.m
Problema n° 2) Una masa de 100 kg. Suspendida de una alambre cuya longitud natural to es de 4m, lo alarga 0,004m. La sección transversal del alambre, que se puede suponer constante, es 0,1 cm ².
a) Si se desplaza la carga hacia abajo una pequeña distancia y se abandona a sí misma, determínese a que frecuencia vibrará.
b) Calcúlense el módulo de Young del alambre.
Desarrollo
m = 100 kg
l0 = 4 m
Δl = 0,004 m
A = 0,1 cm ²
a)
k = m.g/l
k = 100 kg.(9,8 m/s ²)/0,004 m
k = 245000 kg.s-2
f = (1/2.π).√k/m
f = (1/2.π).√245000/100
f = 7,87 Hz
b)
Y = F.l0 /A.Δl
F = k.x
F = 245000.0,004
F = 980 kg.m.s-2
Y = 980*4/0,004.10-5
Y = 98.1010
Problema n° 3) Un bloque pequeño ejecuta un movimiento armónico simple en un plano horizontal con una amplitud de 10 cm. En un punto situado a 6 cm de distancia de la posición de equilibrio, la velocidad es de 24 cm/s.
a) ¿Cuál es el período?.
b) ¿Cuál es el desplazamiento cuando la velocidad es ± 12 cm/s.
c) Si un pequeño cuerpo que oscila sobre el bloque se encuentra justo a punto de deslizar sobre el en el punto final de la trayectoria, ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento?.
Desarrollo
A = 10 cm
X = 6 cm
V = 24 cm.s-1
a)
ω = 24/8 = 3/s
T = 2.π / ω
T = 2.π /3
T = 2,094 s
b)
A ² - x ² = (V/ ω) ²
100 - x ² = (12/3) ²
x ² = 100 - 16
x = √100 - 16 = 9,16 cm
c)
a = ω ².x
a = 9.10 = 90 cm/s
u = F/N
N = m.g
u es el coeficiente de rozamiento, N es la normal. De aquí podemos sacar:
u = m.a/m.g
u = 0,9/9,8 = 0,0918
adimensional. Nótese que las m (masa) en el instante de armar la ecuación se eliminan por lo que se extrae fácilmente el u
Problema n° 4) Una fuerza de 30N estira 15 cm un resorte vertical.
a) ¿Qué masa ha de suspenderse del resorte para que el sistema oscile con un período de (π /4) s.
b) Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, ¿dónde está el cuerpo y en que dirección se mueve (π /12) s después de haber sobrepasado la posición de equilibrio, dirigiéndose hacia abajo?.
c) ¿Qué fuerza ejerce el resorte sobre el cuerpo cuando está 3 cm por debajo de la posición de equilibrio y moviéndose hacia arriba?.
Desarrollo
F = 30 N
A = 15 cm = 0,15 m
a)
T = π.s/4
m = ?
F = k.x
k = F/x
k = 30/0,15 = 200 N.m-1
T = 2.π.√m/k
m = k.(T/2.π) ²
m = 200.[(π /4)/(2.π)] ² = 3,12 kg
b)
A = 5 cm = 0,05 m
x = ?
t = π s/12
x = 5.cos.8t
se tiene que:
x = 5.cos (8.π /12) = 4,33 cm
v = -40.sin.8t
v = -20 cm/s; esto nos da a conocer que el cuerpo se está moviendo hacia el centro, desde abajo hacia arriba.
c)
Tenemos que cuando está 3 cm debajo de la posición de equilibrio la fuerza es:
F = -k.x
F = -6N; pero como se necesita la fuerza total que es:
FT = F eq + F; entonces:
FT = m.g + F
FT = 3,125.9,8 + 6
FT = 36,6 N
Problema n° 5) Un cuerpo de masa m se halla suspendido de un resorte helicoidal habiéndose medido el tiempo empleado en 100 oscilaciones completas para los siguientes valores de m:m(g)
Tiempo empleado en 100 oscilaciones(s) 100
23,4 200
30,6 400
41,8 1000
64,7
Dibújense las graficas de los valores medidos de:
a) t en función de m
b) t ² en función de m
c) ¿Concuerdan los resultados experimentales con la teoría?.
d) ¿Es alguna de las gráficas recta?.
e) ¿Pasa la recta por el origen?.
f) ¿Cuál es la constante de recuperación del resorte?.
g) ¿Cuál es su masa?.
a)
T = 2.π.√m/km T
100
200
400
1000 62.83
88.857
126.663
168.691
b)
T ² = 4.π ².m/kM T2
100
200
400
1000 0.39*10¨¨¨4/k
0.79*10¨¨4/¨k
1.5*10¨¨4/k
3.9*10¨¨4/k
c)
Si, concuerdan por sus gráfica e t.
d)
Si la correspondiente a la de t ²
e)
No pasan por el origen, si así fuera no existiría el movimiento, ya que la masa es cero.
f)
Haciendo algunas aproximaciones, utilizando la fórmula T ² = 4.π ².m/k,se tiene que K = 8,52 din.cm
g)
La masa del resorte utilizando aproximaciones, m = k.(T/2.π) ² = 18,17 g.
Problema n° 6) Un cuerpo de 100g de masa cuelga de un largo resorte helicoidal. Cuando se tira de él 10 cm por debajo de su posición de equilibrio y se abandona a sí mismo, oscila con un período de 2 s.
a) ¿Cuál es su velocidad al pasar por la posición de equilibrio?.
b) ¿Cuál es su aceleración cuando se encuentra 5 cm por encima de la posición de equilibrio?.
c) Si se está moviendo hacia arriba. ¿Cuánto tiempo tarda en desplazarse desde un punto situado 5 cm por debajo de su posición de equilibrio a otro situado 5 cm por encima de ella?.
d) ¿Cuánto se acortará el resorte si se quita el cuerpo?.
Desarrollo
a)
m = 100 g
x = 10 cm
T = 2 s
V máximo = ω .A
ω = 2.π /T
ω = π
V máximo = π.10
V máximo = 31,4 cm/s
b)
a = ω ².x
a = π ².5
a = 49,34 cm/s ²
c)
X = A.cos ω .t
cos ω.t = x/A
ω.t = arc cos (x/A)
t = arc cos (x/A)/ ω
t = arc cos (5/10)/ π
t = 0,333 s
d)
m.g = k.x
x = m.g/k
k = ω ².m
k = π ².100
x = 100.980/(100.π ²)
x = 99,3 cm
Se acortaría los 9,33 cm, que para casos de cálculo se toma como si estuviéramos partiendo desde x = 0 que es la posición de equilibrio.
Problema n° 7) Un cuerpo de 5 kg de masa cuelga de un resorte y oscila con un período de 0,5s. ¿Cuánto se acortará el resorte al quitar el cuerpo?.
Desarrollo
m = 5 kg
T = 0,5 s
k = ω ².m
k = (2.π /T) ².m
k = (2.π /0,5) ².5
k = 789,56
x = m.g/k
x = 5.9,8/789,56
x = 0,062 m